Какви са нулите на дадена функция и как да я дефинирате?

Какви са нули на функция? Отговорът е доста прост - това е математическо понятие, с което се има предвид домейнът на определението за дадена функция, на който нейната стойност е нула. Нулите на функция също се наричат корените на уравнението. Най-лесният начин да се изяснят нулите на дадена функция са на няколко прости примера.

примери

Помислете за простото уравнение y = x + 3. Тъй като нулата на функция е стойността на аргумента, при който y е придобила нулева стойност, заместете 0 с лявата страна на уравнението:

0 = х + 3;

х = -3.

В този случай -3 е желаната нула. За тази функция има само един корен на уравнението, но това не винаги е така.

Да разгледаме друг пример:

y = х²-9.

Заместим 0 в лявата част на уравнението, както в предишния пример:

0 = х²-9;

-9 = х².

Очевидно е, че в този случай нулите на функцията ще бъдатдва: х = 3 и х = -3. Ако имаше аргумент от третата степен в уравнението, щеше да има три нули. Може да се направи едно просто заключение, че броят на корените на полинома съответства на максималната степен на уравнението в уравнението. Въпреки това, много функции, например y = x³ , на пръв поглед противоречат на това твърдение. Логиката и здравият разум показват, че тази функция има само една нула в точката x = 0. Но всъщност има три корена, всички съвпадат. Ако уравнението се решава в сложна форма, това става очевидно. x = 0 в този случай коренът, чиято мностота е 3. В предишния пример нулите не съвпадат, затова те имат множество 1.

Алгоритъмът за определяне

От представените примери можете да видите как да определите нули на функция. Алгоритъмът винаги е един и същ:

Напишете функция.
Заместител y или f (x) = 0.
Решете съответното уравнение.

Сложността на последния елемент зависи от степентааргумент на уравнението. В решението на високата степен на уравнението е особено важно да се помни, че броят на корените на уравнението е равна на максималната степен на аргумента. Това е особено вярно за тригонометричните уравнения, при които разделянето на двете части на синусите или косинусите води до загуба на корени.

Уравнения от произволна степен се решават най-лесно чрез метода на Горнър, който е разработен специално за намиране на нули на произволен полином.

Значението на нулите на функциите също може да бъдеотрицателен и положителен, реален или лежи в сложната равнина, единична или множествена. Или корените на уравнението може да не са. Например, функцията y = 8 няма да получи нулева стойност за всяко x, защото не зависи от тази променлива.

Уравнението y = x²-16 има два корена, и двамата лежат в сложната равнина: x₁= 4i, х₂= -4і.

Често срещани грешки

Често срещана грешка, която учениците позволяватне е ясно разбрано кои са нулите на функция, е замяната на аргумента (x) с нула, а не стойността (y) на функцията. Те със сигурност са заместени в уравнението x = 0 и въз основа на това y се намира. Но това е грешен подход.

Друга грешка, както вече беше споменато,синус или косинус в тригонометрични уравнения, заради това, което се губи, и една или повече нули. Това не означава, че тези уравнения не могат да режат нещо, точно когато по-нататъшни изчисления трябва да вземат предвид тези "изгубени" фактори.

Графично представяне

За да разберете какви са нулите на дадена функция, можете да я използватематематически програми като Maple. В него можете да начертаете графика, като посочите желания брой точки и желаната скала. Точките, при които графиката пресича ос ОХ, са желаните нули. Това е един от най-бързите начини за намиране на корените на полином, особено ако неговият ред е по-висок от третия. Така че, ако има нужда редовно да се правят математически изчисления, да се открият корени на полиноми на произволни степени, да се изграждат графики, Maple или подобна програма просто ще бъде задължителна за изпълнението и проверката на изчисленията.