Изпъкнали многоъгълници. Определение на изпъкнал многоъгълник. Диагонали на изпъкнал многоъгълник

Тези геометрични фигури ни заобикалят навсякъде. Изпъкналите многоъгълници са естествени, например пчелни пчелни пити или изкуствени (създадени от хора). Тези цифри се използват при производството на различни видове покрития, като боядисване, архитектура, декорация и др. Изпъкнал многоъгълник имат свойството, че техните точки се намират от едната страна на права линия, която преминава през двойката съседни върха на геометрична фигура. Има и други дефиниции. Изпъкнал е този многоъгълник, който се намира в една полуплана по отношение на която и да е линия, съдържаща една от страните му.

Изпъкнали многоъгълници

В хода на елементарната геометрия винагиние разглеждаме само прости полигони. За да разберем всички свойства на такива геометрични фигури, е необходимо да разберем тяхната природа. Първо, трябва да се разбере, че всяка линия, чиито краища съвпадат, се нарича затворена. И фигурата, образувана от нея, може да има разнообразни конфигурации. Многоъгълникът е проста затворена многоъгълна линия, чиито съседни връзки не лежат на една и съща линия. Връзките и върховете са, съответно, страните и върховете на тази геометрична фигура. Една проста полилиния не трябва да има самосезарници.

Върховете на полигон се наричат ​​съседни, в товаако представляват краищата на едната страна. А геометрична фигура, която има п-ти номер на върха, а оттам и п-ти брой страни нарича N-гон. Самото прекъсната линия се нарича граница или контур на тази геометрична фигура. Polygonal самолет или плосък многоъгълник нарича последната част от който и да е самолет, им е ограничен. Съседни страни на геометрична фигура, наречени полилинии сегменти, произхождащи от същия връх. Те няма да бъдат съседни, ако идват от различни върхове на полигона.

Други дефиниции на изпъкнали многоъгълници

В елементарната геометрия има още няколкоеквивалентен по смисъла на определенията, посочващ кой полигон се нарича изпъкнал. И всички тези формули са еднакво верни. Изпъкнал многоъгълник се счита за:

• всеки сегмент, който свързва всяка две точки вътре в него, лежи в него;

• в него са разположени всичките му диагонали;

• всеки вътрешен ъгъл не надвишава 180 °.

Полигонът винаги разделя равнината на 2част. Един от тях е ограничен (той може да бъде затворен в кръг), а другият е неограничен. Първият се нарича вътрешен регион, а вторият се нарича външната област на тази геометрична фигура. Този многоъгълник е пресечната точка (с други думи - общият компонент) на няколко полуплана. В този случай всеки сегмент, който завършва в точките, принадлежащи към полигона, изцяло принадлежи на него.

Сортове изпъкнали многоъгълници

Дефиницията на изпъкнал многоъгълник не показвана факта, че има много видове. И всеки от тях има определени критерии. По този начин, изпъкнал многоъгълник, които имат вътрешен ъгъл от 180 °, посочени леко изпъкнала. Изпъкнало геометрична фигура, която има три върха, се нарича триъгълник, четири - четириъгълник, пет - петоъгълник и т.н. Всеки от изпъкналата п-gons отговаря на следните по-важни изисквания: .. N трябва да бъде равна на или по-голямо от 3. Всяка от триъгълници е изпъкнал. Геометричната фигурата от този тип, при което всички върхове са разположени в кръг, наречен вписан кръг. Описан е изпъкнал многоъгълник, ако всички негови страни в близост до кръга го докосват. Два многоъгълника се наричат ​​равни, само ако могат да бъдат комбинирани с помощта на наслагване. Плосък многоъгълник наречен многоъгълна равнина (равнина част), че този ограничен геометрична фигура.

Редовни изпъкнали многоъгълници

Позволяват се правилни полигонигеометрични фигури с равни ъгли и страни. Вътре има точка 0, която е на същото разстояние от всеки от нейните върхове. Той се нарича център на тази геометрична фигура. Сегментите, свързващи центъра с върховете на тази геометрична фигура, се наричат ​​апофими, а тези, които свързват точката 0 със страни са радиуси.

Правният четириъгълник е квадрат. Правният триъгълник се нарича равностранен. За такива цифри има следното правило: всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник е 180 ° * (n-2) / n,

където n е броят на върховете на тази изпъкнала геометрична фигура.

Районът на всеки регулярен многоъгълник се определя от формулата:

S = p * h,

където p е равна на половината от сумата на всички страни на даден полигон и h е равна на дължината на апофемата.

Свойства на изпъкнали многоъгълници

Изпъкналите многоъгълници имат определени свойства. Така че сегментът, който свързва две точки на такава геометрична фигура, задължително се намира в него. доказателство:

Да предположим, че P е даден изпъкналмногоъгълник. Вземете две произволни точки, например, А и В, които принадлежат към P. С настоящото определение на изпъкнал многоъгълник, тези точки са разположени от едната страна на правата линия, която съдържа всяка посока R. Следователно AB има това свойство и се съдържа в R. изпъкнал многоъгълник винаги Възможно е да се разделят на няколко триъгълника с абсолютно всички диагонали, които са съставени от един от върховете му.

Ъглите на изпъкнали геометрични фигури

Ъглите на изпъкнал многоъгълник са такивасе формират от неговите партии. Вътрешните ъгли са във вътрешната част на тази геометрична фигура. Ъгълът, който се образува от нейните страни, които се събират в един връх, наречен ъгъла на изпъкнал многоъгълник. Ъгли, съседни на вътрешните ъгли на дадена геометрична фигура, се наричат ​​външни. Всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник, разположен вътре в него, е равен на:

180 ° - х,

където x е стойността на външния ъгъл. Тази проста формула се отнася за всички геометрични фигури от този тип.

В общия случай съществуват външни ъглиследващото правило: всеки ъгъл на изпъкнал многоъгълник е равен на разликата между 180 ° и стойността на вътрешния ъгъл. То може да има стойности в диапазона от -180 ° до 180 °. Следователно, когато вътрешният ъгъл е 120 °, външният ъгъл ще бъде 60 °.

Сумата от ъглите на изпъкнали многоъгълници

Сумата от вътрешните ъгли на изпъкнал многоъгълник се определя по формулата:

180 ° * (п-2),

където n е броят на върховете на n-gon.

Сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник се изчислявасъвсем просто. Помислете за всяка такава геометрична фигура. За да се определи сумата от ъглите вътре в изпъкнал многоъгълник, един от върховете му трябва да бъде свързан с други върхове. В резултат на това действие получаваме (n-2) триъгълници. Известно е, че сумата от ъглите на всеки триъгълник е винаги 180 °. Тъй като техният брой във всеки полигон е равен (n-2), сумата от вътрешните ъгли на такава фигура е 180 ° х (n-2).

Сумата от ъглите на изпъкнал многоъгълник, т.е.всеки два вътрешни и съседни външни ъгъла, тази изпъкнала геометрична фигура винаги ще бъде 180 °. Като се започне от това, е възможно да се определи сумата на всички ъгли:

180 х н.

Сумата от вътрешните ъгли е 180 ° * (n-2). Изхождайки от това, сумата от всички външни ъгли на дадена цифра се определя от формулата:

180 ° * n-180 ° - (п-2) = 360 °.

Сумата от външните ъгли на всеки изпъкнал многоъгълник винаги ще бъде 360 ° (независимо от броя на неговите страни).

Външният ъгъл на изпъкнатия многоъгълник обикновено се представя с разлика между 180 ° и стойността на вътрешния ъгъл.

Други свойства на изпъкнал многоъгълник

В допълнение към основните свойства на тези геометричнифигури, те имат други, които се появяват, когато ги манипулирате. По този начин, всеки от полигоните може да бъде разделен на няколко изпъкнали n-gons. За това е необходимо да продължите всяка от страните и да изрежете тази геометрична фигура по тези прави линии. Разделете всеки полигон на няколко изпъкнали части и по такъв начин, че върховете на всяка от парчетата съвпадат с всичките му върхове. От тази геометрична фигура е много лесно да направите триъгълници, като държите всички диагонали от един връх. По този начин всеки полигон в крайна сметка може да бъде разделен на определен брой триъгълници, което е много полезно при решаването на различни проблеми, свързани с такива геометрични фигури.

Периметър на изпъкнал многоъгълник

Частите от полилинията, наречени странимногоъгълник, най-често означен със следните букви: ab, bc, cd, de, ea. Това са страните на геометричната фигура с върховете a, b, c, d, e. Сумата от дължините на всички страни на този изпъкнал многоъгълник се нарича периметър.

Кръг от многоъгълник

Могат да бъдат изписани изпъкнали многоъгълнициописани. Кръгът допирателна към всички страни на геометрична фигура, наречена вписания в него. Подобен полигон се нарича описан. кръга на център, който е вписан в многоъгълника е пресечна точка на ъглополовящи на ъглите в дадена геометрична форма. Площта на такъв многоъгълник е равна на:

S = p * r,

където r е радиусът на вписания кръг и p е полупериметърът на дадения многоъгълник.

Кръг, съдържащ върховете на многоъгълник,наречен близо до него. В този случай тази изпъкнала геометрична фигура се нарича написана. Центърът на окръжността, който е описан близо до такъв многоъгълник, представлява точката на пресичане на т. Нар. Средни перпендикуляри на всички страни.

Диагонали на изпъкнали геометрични фигури

Диагоналите на изпъкнал многоъгълник са сегменти,който свързва не съседни върхове. Всеки от тях лежи в тази геометрична фигура. Броят диагонали на такъв n-gon се определя от формулата:

N = n (n-3) / 2.

Броят на диагоналите на изпъкнал многоъгълник се изпълняваважна роля в елементарната геометрия. Броят триъгълници (K), в които може да се раздели всеки изпъкнал многоъгълник, се изчислява по следната формула:

K = n - 2.

Броят диагонали на изпъкнал многоъгълник винаги зависи от броя на върховете му.

Разцепване на изпъкнал многоъгълник

В някои случаи, за решаване на геометричние необходимо да се раздели изпъкнал многоъгълник на няколко триъгълника с разединени диагонали. Този проблем може да бъде решен чрез извличане на определена формула.

Дефиниране на проблема: ние наричаме отделен дял на изпъкнал n-gon в няколко триъгълника от диагонали, пресичащи се само на върховете на тази геометрична фигура.

решение: Да предположим, че Р1, Р2, Р3, ..., Рп - горната част на п-гон. Числото Xn е броят на дяловете му. Ние внимателно разглеждаме получения диагонал на геометричната фигура Pi Pn. Във всеки от редовни дялове Р1 Pn принадлежи към конкретен триъгълник Р1 Pi Pn, в който 1 <I <п. Въз основа на това се предполага, че и аз = 2,3,4, ..., N-1, получен от (п-2) на тези прегради, които са включени във всяка възможна специални случаи.

Нека i = 2 бъде една група от редовникойто винаги съдържа диагоналната P2 Pn. Броят на дяловете, които влизат в него, съвпада с броя на дяловете на (n-1) -гона P2 P3 P4 ... Pn. С други думи, то се равнява на Xn-1.

Ако i = 3, тогава тази друга група дялове ще бъдевинаги съдържат диагонали P3 P1 и P3 Pn. Освен това броят на редовните дялове, които се съдържат в тази група, съвпада с броя на дяловете (n-2) -гона P3 P4 ... Pn. С други думи, то ще бъде равно на Xn-2.

Нека i = 4, след това сред триъгълниците редовнатаразграждането задължително ще съдържа триъгълник P1P4Pn, към който ще се прилепи четириъгълният P1P2P3P4, (n-3) -gon P4P5 ... Pn. Броят на редовните дялове на такъв четириъгълник е равен на X4, а броят на дяловете на (n-3) -гона е равен на Xn-3. Въз основа на всичко казано по-горе, можем да кажем, че общият брой на редовните дялове, които се съдържат в тази група, е Xn-3 X4. Други групи, за които i = 4, 5, 6, 7 ... ще съдържат Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 ... на обикновени дялове.

Нека i = n-2, тогава броят на редовните дялове в дадена група ще съвпадне с броя на дяловете в група, за които i = 2 (с други думи, тя се равнява на Xn-1).

Тъй като X1 = X2 = 0, X3 = 1, X4 = 2 ..., тогава броят на всички дялове на изпъкнал многоъгълник е равен на:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3, Xn-Х4 Х5 + + 4 ... + X 5 + 4 Xn-Xn-X 4 + 3 + 2 Xn-Xn-1.

например:

Х5 = Х4 + ХЗ + Х4 = 5

Х6 = Х5 + Х4 + Х4 + Х5 = 14

Х7 = Х6 + Х5 + Х4 * Х4 + Х5 + Х6 = 42

Х7 = X8 + X6 + Х4 Х5 * + Х4 Х5 * + Х6 Х7 + = 132

Броят на редовните дялове, пресичащи един диагонал

При проверката на конкретни случаи може да се приеме, че броят на диагоналите на изпъкнали n-gons се равнява на произведението на всички прегради на тази фигура с (n-3).

Доказателство за това предположение: си представим, че P1N = Xn * (п-3), като има предвид всяко п-гон може да бъде разделена на (п-2) е триъгълник. В същото време, една от тях може да се комбинира (n-3) - квадратът. Заедно с това всеки четириъгълник ще има диагонал. Тъй като тази изпъкнала геометрична фигура две диагонали могат да се извършват, което означава, че във всеки (п-3) -chetyrehugolnikah може да извършва допълнителна диагонал (п-3). Въз основа на това, можем да заключим, че по всяко правилното дял има възможност да се (п-3) -diagonali отговаря на изискванията на тази задача.

Област на изпъкналите многоъгълници

Често при решаване на различни проблеми, елементарнигеометрия, става необходимо да се определи площта на изпъкнал многоъгълник. Да предположим, че (Xi, Yi), i = 1,2,3 ... n е последователност от координати на всички съседни върхове на многоъгълник, който няма самостоятелно пресичане. В този случай площта му се изчислява по следната формула:

S = 1 (Σ (Х_аз + X_{i + 1}) (Y_аз + Y_{i + 1})),

където (Х₁, Y₁) = (Х_{n +1}, Y_{n + 1}).