Математическа матрица. Умножение на матрици

Все още се използват математиците от древен Китайтехните изчисления записват под формата на таблици с определен брой редове и колони. След това подобни математически обекти се наричат ​​"магически квадрати". Въпреки че има известни случаи на използване на таблици под формата на триъгълници, които не са широко използвани.

Към днешна дата под математическата матрицаобичайно е да се разбере обема на правоъгълна форма с определен брой колони и символи, които определят размерите на матрицата. В математиката тази форма на писане намери широко приложение за записване в компактна форма на системи от диференциални, както и линейни, алгебрични уравнения. Предполага се, че броят на редове в матрицата е равен на броя на уравненията, присъстващи в системата, броят на колоните съответства на броя неизвестни данни, които трябва да бъдат определени по време на решаването на системата.

В допълнение, че самата матрица в хода на нейнатарешения води до намиране на неизвестните, присъщи на състоянието на системата, има редица алгебрични операции, които имат право да носят за даден математически обект. Този списък включва добавянето на матрици със същите размери. Размножаването на матрици с подходящи размери (възможно е да се размножават матрица с едната страна с броя на колоните, равен на броя на редовете на матрицата от другата страна). Също така могат да се размножават матрица от вектор, или елемент или на база пръстен (иначе скаларна).

Имайки предвид размножаването на матриците, следва, ченаблюдавано отблизо, за строго първия брой колони, равен на броя на редовете на втората. В противен случай това действие върху матриците няма да бъде определено. Съгласно принципите, от които размножаването на матрица матрица, всеки елемент в нов набор е равна на сумата от продуктите на съответните елементи на редовете на първата матрица елементи от други колони.

За по-голяма яснота разгледайте пример за това, как се получава мултиплицирането на матрицата. Вземаме матрицата А

2 3 -2

3 4 0

-1 2 -2,

умножете го по матрицата Б

3 -2

1 0

4 -3.

Елемент от първия ред на първата колонаполучената матрица е равно на 2 * 3 + 3 * 1 + (- 2) * 4. Съответно, в първия ред във втората колона елемент ще се равнява на 2 * (- 2) + 3 * 0 + (- 2) * (- 3), и така нататък до запълване на всеки елемент на новата матрица. Правило матрица умножение включва, че резултатът от матрица продукт от м х п параметри на матрицата има съотношение п х К, става таблица, която има размер на m х к. След това правило, можем да заключим, че продуктът на така наречените квадратни матрици, съответно, на същия ред, винаги е дефинирана.

От свойствата, които притежава матричното умножение,Това трябва да се направи като един от факта, че основният тази операция не е комутативен. Това е продукт на матрица М до N не е равна на произведението на N от М. Ако в квадратни матрици на същия ред, се наблюдава, че им напред и назад продукт винаги се определя, различаващи се само в резултат на правоъгълна матрица като определени условия не винаги са изпълнени.

Умножението на матриците има редица свойства,които имат ясни математически доказателства. Асоциативността на мултиплицирането предполага правилността на следния математически израз: (MN) K = M (NK), където M, N и K са матрици с параметри, за които е дефинирано умножение. Разпределението на мултипликацията предполага, че М (N + K) = MN + MK, (M + N) K = MK + NK, L (MN) = LMN + M.

В резултат на свойствата на размножаването на матрица, която се нарича "асоциативната", следва, че в продукт, съдържащ между три или повече фактори, оставя влизане без използване на скоби.

Използването на свойството на разпределение дава възможност за отваряне на скоби при изследване на матрични изрази. Обръщаме внимание, ако отворим скоби, тогава трябва да запазим реда на факторите.

Използването на матрични изрази позволява не само компактното записване на тромави системи от уравнения, но и улеснява процеса на тяхната обработка и решение.