Примери за индукция. Метод на математическа индукция: примери за решения

Истинското знание винаги се е основавалоустановяването на редовност и доказателство за неговата истинност при определени обстоятелства. За такъв дълъг период на съществуване на логически разсъждения, правилата бяха формулирани, а Аристотел дори състави списък с "правилни разсъждения". В исторически план е общо да се разделят всички заключения на два вида - от бетон до множествено число (индукция) и обратното (приспадане). Трябва да се отбележи, че видовете доказателства от частното до общото и от общото до конкретното съществуват само в отношенията и не могат да се използват взаимозаменяемо.

Индукция по математика

Терминът "индукция" има латинскикорени и буквално се превежда като "ръководство". С близкото изследване можем да различим структурата на думата, а именно, латинският префикс - в- (обозначава насоченото действие вътре или вътре) и - въвеждане - въведение. Трябва да се отбележи, че има два вида - пълна и непълна индукция. Пълната форма се характеризира със заключения, извлечени от изучаването на всички обекти от определен клас.

Непълни - заключенията се прилагат за всички предмети в класа, но се правят въз основа на проучването само на няколко единици.

Пълна математическа индукция - извод,въз основа на общото заключение за целия клас на обектите, функционално свързани от отношенията на естествен брой числа въз основа на познаването на тази функционална връзка. Процесът на доказване преминава през три етапа:

• първата доказва коректността на позицията на математическата индукция. Пример: f = 1, това е основа на индукцията;
• Следващият етап се основава на допускането на валидността на позицията за всички естествени числа. Това е, f = h, това е индукционната хипотеза;
• третият етап доказва справедливостпозицията за броя f = h + 1, на базата на точността на предишната клауза, е стъпка на индукция или стъпка на математическа индукция. Пример за това е така нареченият "принцип на доминото": ако първата кост попада в ред (основа), тогава всички кости в реда (прехода) ще паднат.

И за забавление и сериозно

За опростяване на възприятието, примерите за решаване по математически метод на индукция са изложени под формата на проблеми с шега. Това е задачата на "любезния обрат":

• Правилата за поведение забраняват на човек да окупираобърнете се пред жена (в тази ситуация, тя може да продължи напред). Изхождайки от това твърдение, ако последният по ред е човек, то всички останали са мъже.

Забележителен пример за метода на математическа индукция е проблемът за "безразмерния полет":

• Необходимо е да се докаже, че микробусът е поставенвсеки брой хора. Вярно е, че едно лице може да бъде настанено вътре в транспорта без никакви трудности (основа). Но независимо колко зает е микробусът, един пътник винаги ще се впише в него (индукционна стъпка).

Познати кръгове

Примери за решение чрез математическа индукция на проблеми и уравнения често се срещат. Като илюстрация на този подход можем да разгледаме следния проблем.

състояние: в равнината има h кръгове. Необходимо е да се докаже, че при всяко подреждане на фигурите картата, която те образуват, може да бъде правилно оцветена в два цвята.

Решението: за h = 1 истинността на твърдението е очевидна, следователно доказателството ще се основава на броя на кръговете h + 1.

Предполагаме, че декларацията е надежднавсяка карта и на равнината, дадена h + 1 кръг. Премахването на един от кръговете от общия брой може да бъде правилно оцветен с две цветни (черно-бели) карти.

Когато възстановявате изтрит кръг,цветът на всеки регион е обратното (в този случай вътре в кръга). Получава се карта, правилно оцветена в два цвята, която трябваше да бъде доказана.

Примери с естествени числа

По-долу е ясно показано прилагането на метода на математическата индукция.

Примери за решения:

Докажете, че за всеки h има следното равенство:

1²2²3²+ ... + ч²= h (h + 1) (2h + 1) / 6.

решение:

1. Нека h = 1, тогава:

R₁= 1²= 1 (1 + 1) (2 + 1) / 6 = 1

От това следва, че за h = 1 твърдението е правилно.

2. Ако приемем, че h = d, получаваме уравнението:

R₁= d²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 = 1

3. Ако приемем, че h = d + 1, получаваме:

R_{d + 1}= (d + 1) (d + 2) (2d + 3) / 6

R_{d + 1}= 1²2²3²+ ... + d²+ (d + 1)²= d (d + 1) (2d + 1) / 6 + (d + 1)²= (d (d + 1) (2d + 1) + 6 (d + 1)²) / 6 = (d + 1) (d (2d + 1) + 6 (k + 1)) / 6 =

(d + 1) (2d²+ 7г + 6) / 6 = (г + 1) (2 (г + 3/2) (D + 2)) / 6 = (г + 1) (г + 2) (2d + 3) / 6.

По този начин се доказва валидността на равенството за h = d + 1, следователно твърдението е вярно за всяко естествено число, което е показано в примера на решението чрез математическа индукция.

задача

състояние: трябва да докаже, че за всяка стойност на h изразът 7^з-1 се дели на 6 без остатък.

Решението:

1. Да приемем, h = 1, в този случай:

R₁= 7¹-1 = 6 (т.е. делим на 6 без остатък)

Следователно, за h = 1 изявлението е валидно;

2. Да предположим, че h = d и γ^г-1 се дели на 6 без остатък;

3. Доказателство за валидността на твърдението за h = d + 1 е формулата:

R_г1= 7^г1-1 = 7,7^г-7 + 6 = 7 (7^г-1) +6

В този случай първият мандат е разделен на 6 според предположението на първата точка, а вторият е равен на 6. Твърдението, че 7^з-1 се дели на 6 без остатък на всеки естествен ч - полето.

Грешка при преценките

Често в използваните доказателства неправилноразсъждение, поради неточността на използваните логически конструкции. По принцип това се случва, когато структурата и логиката на доказателството са нарушени. Пример за неправилно мотивиране може да служи като илюстрация.

задача

състояние: имате нужда от доказателство, че камъкът не е куп.

Решението:

1. Да кажем, ч = 1, в този случай, един куп камъни и твърдението е вярно (база);

2. Да предположим, че за h = d е вярно, че купчина камъни не е купчина (предположение);

3. Нека h = d + 1, което означава, че когато добавите още един камък, комплектът няма да бъде купчина. Заключението е, че допускането е валидно за всички естествени h.

Грешката се крие във факта, че няма определение за колко камъни се формира купчина. Такъв пропуск се нарича прибързана генерализация в метода на математическата индукция. Пример, който ясно показва.

Индукция и законите на логиката

Исторически, примерите за индукция и приспадане винаги "вървят ръка за ръка". Такива научни дисциплини като логика, философия ги описват под формата на противоположности.

От гледна точка на закона на логиката в индуктивнияопределенията се отнасят до разчитане на факти и достоверността на пратките не определя верността на изявлението, което е резултат от тях. Често се получават заключения с определена вероятност и правдоподобност, което, разбира се, трябва да бъде проверено и потвърдено чрез допълнителни изследвания. Пример за индукция в логиката може да бъде изявлението:

В Естония - суша, в Латвия - суша, в Литва - суша.

Естония, Латвия и Литва са балтийски държави. Във всички балтийски страни суша.

От примера можем да заключим, че новата информацияили истината не може да бъде получена чрез индукция. Всичко, за което може да се прецени, е някаква възможна правдоподобност на заключенията. Освен това истинността на помещенията не гарантира същите изводи. Този факт, обаче, не означава, че индукцията расте на границите на приспадане: огромен брой разпоредби и научни закони са оправдани от метода на индукция. Пример за това е същата математика, биология и други науки. Това се дължи най-вече на метода на пълна индукция, но в някои случаи е приложима и частична.

Вълнуващата епоха на индукция й позволи да проникне практически във всички сфери на човешката дейност - това са науката, икономиката и всекидневните изводи.

Индукция в научната среда

Методът на индукция изисква стриктно отношение,защото твърде много зависи от броя на изследваните данни на цялото: колкото по-голям е броят на изследваните, толкова по-надежден е резултатът. Изхождайки от тази характеристика, научните закони, получени чрез индукция, се проверяват дълго време на нивото на вероятностните предположения, за да се изолират и проучат всички възможни структурни елементи, връзки и влияния.

В науката индукцията се основаваЗначителни знаци, с изключение на случайни позиции. Този факт е важен във връзка със спецификата на научното познание. Това ясно се вижда в примерите за индукция в науката.

В научния свят съществуват два вида индукция (във връзка с метода на обучение):

1. индукция-селекция (или селекция);
2. индукцията е изключение (елиминиране).

Първият тип се различава чрез методично (внимателно) подбор на проби от клас (подкласове) от различните му области.

Пример за индукция на този вид е следният: среброто (или сребърните соли) пречиства водата. Заключението се основава на дългосрочни наблюдения (вид избор на потвърждения и откази - подбор).

Вторият вид индукция се основава на заключения,установяване на причинно-следствени връзки и изключване на обстоятелства, които не съответстват на неговите свойства, а именно универсалност, спазване на времевата последователност, необходимост и недвусмисленост.

Индукция и приспадане от гледна точка на философията

Ако погледнете историческата ретроспекция, тогаватерминът "индукция" беше споменат за пръв път от Сократ. Аристотел описва примери за индукция във философията в по-сборния терминологичен речник, но въпросът за непълната индукция остава отворен. След преследването на Аристотеловия силог, индуктивният метод стана признат за плодотворен и единственият възможен в природната наука. Бащата на индукцията като независим специален метод се счита за Бейкън, но той не успя да отдели, както се изисква от съвременниците, индукция от дедуктивния метод.

По-нататъшно развитие на индукцията е извършено в J. Мил, който смята, че индукционната теория е от гледна точка на четири основни метода: съгласие, разлика, остатъци и съответни промени. Не е изненадващо, че досега тези методи, когато се разглеждат подробно, са дедуктивни.

Осъзнаване на несъответствието между теориите на Бейкън и Милводени от учените да проучат вероятностната база на индукцията. Но и тук не беше без крайности: бяха направени опити да се намали индукцията на теорията на вероятността с всички последващи последици.

В практиката се постига вот на довериеприложение в определени области и благодарение на метричната точност на индуктивната база. Пример за индукция и приспадане във философията може да се счита за закон на универсалната гравитация. По времето на откриването на закона, Нютон успя да го потвърди с точност от 4%. И когато се проверява след повече от двеста години, то се потвърждава с точност до 0,0001%, въпреки че тестът се провеждаше със същите индуктивни обобщения.

Съвременната философия се обръща повече вниманиеприспадане, което се диктува от логическо желание да се извлече от вече познатото ново знание (или истина), което не се отнася до опит, интуиция и използва "чисто" разсъждение. Когато се позоваваме на истинските предпоставки в дедуктивния метод, във всички случаи продукцията е истинско изявление.

Тази много важна характеристика не трябва да бъдеда затъмни стойността на индуктивния метод. Тъй като индукцията, въз основа на постиженията на опита, се превръща в средство за нейната обработка (включително генерализация и систематизация).

Индукция в икономиката

Индукцията и приспадането отдавна са използвани като методи за изследване на икономиката и прогнозиране на неговото развитие.

Спектърът на използване на метода на индукция е достатъчен: проучване на изпълнението на прогнозни показатели (печалби, амортизация и т.н.) и обща оценка на състоянието на предприятието; формиране на ефективна политика за насърчаване на предприятията въз основа на фактите и техните взаимоотношения.

Същият метод на индукция се използва в "Shewhart charts", където, ако се приеме разделянето на процесите в управлявани и неконтролирани процеси, се твърди, че обхватът на контролирания процес е неактивен.

Трябва да се отбележи, че научните закониса оправдани и потвърдени от метода на индукция и тъй като икономиката е наука, която често използва математически анализ, теория на риска и статистически данни, не е изненадващо наличието на индукция в списъка на основните методи.

Пример за индукция и приспадане в икономиката може да бъдеобслужват следната ситуация. Увеличаването на цените на хранителните продукти (от потребителската кошница) и основните стоки принуждават потребителя да мисли за възникващите високи разходи в държавата (индукция). В същото време, поради факта, че разходите са високи чрез математически методи, е възможно да се извлекат индикатори за покачване на цените за отделни стоки или категории стоки (приспадане).

Най-често се отнася до метода на индукцияуправленски персонал, мениджъри, икономисти. За да може да се предскаже развитието на предприятието с достатъчна искреност, пазарно поведение, последици от конкуренцията, е необходим индуктивно-дедуктивен подход към анализа и обработката на информацията.

Ясен пример за индукция в икономиката, свързан с погрешни преценки:

• Печалбата на компанията е намаляла с 30%;
  конкурентната фирма разшири продуктовата линия;
  нищо друго не се е променило;
• политиката на производство на конкурентна компания доведе до 30% намаление на печалбите;
• следователно, се изисква да се прилага същата производствена политика.

Примерът е колоритна илюстрация за това как неефективното използване на метода на индукция допринася за разрухата на едно предприятие.

Приспадане и индукция в психологията

Тъй като има метод, тогава логично,има и добре организирано мислене (за използване на метода). Психологията като наука, която изучава умствените процеси, тяхното формиране, развитие, взаимовръзки, взаимодействия, обръща внимание на "дедуктивното" мислене като една от формите на проявление на приспадане и индукция. За съжаление на страниците за психология в Интернет практически няма доказателства за целостта на индуктивния индуктивен метод. Въпреки че професионалните психолози са по-склонни да се сблъскат с индукция или по-скоро с погрешни изводи.

Пример за индукция в психологията, като илюстрацияпогрешни преценки, може да служи като изявление: майка ми мами, следователно всички жени са измамници. Още повече могат да се научат от "грешните" примери за индукция от живота:

• студентът не е способен на нищо, ако е получил ДЕУС в математиката;
• той е глупак;
• той е умен;
• Мога да направя всичко;

- и много други оценъчни преценки, произтичащи от абсолютно случайни и понякога незначителни обещания.

Трябва да се отбележи, че когато грешката на преценките на човек достигне абсурд, предната част на работата се появи за терапевта. Един от примерите за индукция при назначаване на специалист:

"Пациентът е абсолютно сигурен, че червеният цвятноси само негова опасност при всякакви прояви. Вследствие на това човек е изключил от живота си тази цветова схема - доколкото е възможно. В домашната среда има много възможности за комфортен живот. Можете да изоставяте всички обекти с червен цвят или да ги замените с аналози, направени в различна цветова схема. Но на обществени места, на работа, в магазина - това е невъзможно. При навлизане в стресова ситуация пациентът изпитва "прилив" от напълно различни емоционални състояния всеки път, което може да бъде опасно за другите. "

Този пример на индукция, несъзнателно,наречени "фиксирани идеи". В случай, че това се случи с психически здрав човек, може да се говори за липса на организация на мисловна дейност. Елементарното развитие на дедуктивното мислене може да стане начин да се освободите от натрапчиви състояния. В други случаи психиатрите работят с такива пациенти.

Получените примери за индукция свидетелстват, че "невежеството на закона не се освобождава от последиците (погрешни преценки)".

Психолозите, работещи по темата за дедуктивното мислене, съставиха списък с препоръки, предназначени да помогнат на хората да овладеят този метод.

Първата точка е решаването на проблемите. Както може да се види, формата на индукция, която се използва в математиката, може да се счита за "класическа", а използването на този метод допринася за "дисциплината" на ума.

Следващото условие за развитието на дедуктивното мисленее разширяване на хоризонтите (който ясно мисли, ясно заявява той). Тази препоръка насочва "страдащите" към скенери за наука и информация (библиотеки, уебсайтове, образователни инициативи, пътувания и др.).

Точността е следната препоръка. В края на краищата, от примери за използване на индукционни методи е ясно, че в много отношения това е гаранция за истинността на изявленията.

Гъвкавостта на съзнанието също се избягва, което предполага възможността за използване на различни начини и подходи при решаването на поставената задача, както и като се вземе предвид променливостта на развитието на събитията.

И, разбира се, наблюдение, което е основният източник на натрупване на емпиричен опит.

Отделно, трябва да се спомене т.нар"Психологическа индукция". Този термин, макар и рядко, може да се намери в Интернет. Всички източници не дават дори кратко формулиране на определението на този термин, но се отнася за "реалния живот примери", като по този начин нов вид индукция на предположението, някои форми на психични заболявания, крайно състояние на човешката психика. От изложеното по-горе става ясно, че опитът да доведе до "нов термин", позовавайки се на фалшивите (а често и неверни) изпращане осъжда експериментаторът да невярно (или прибързано) одобрение.

Трябва да се отбележи, че позоваването на експерименти1960 г. (без да уточнява мястото, имената на експериментатори извадка на индивиди и най-важното - целта на експеримента) изглежда като, меко казано, неубедителни, а твърдението, че мозъка възприема информация, заобикаляйки всички органи на възприятие (фразата "са засегнати" в този случай ще се вмести по органична), тя повдига въпроси през доверчивост и безкритични отчети на автора.

Вместо да приключи

Кралицата на науките - математиката, съзнателно използва всичкивъзможните запаси от метода на индукция и приспадане. Посочените примери ни позволяват да заключим, че повърхностното и неефективното (безмилостно, както се казва,) прилагане на най-точните и надеждни методи винаги води до грешни резултати.

В масовото съзнание методът на приспадане е свързан с известния Шерлок Холмс, който в логическите си конструкции по-често използва примери за индукция в необходимите ситуации, използвайки приспадане.

Статията разглежда примери за прилагането на тези методи в различни науки и сфери на човешката дейност.