Неограниченият интеграл. Изчисляване на неопределени интеграли

Една от основните части на математическияанализът е интегралното смятане. Тя обхваща най-широката област от обекти, където първата е неопределен интеграл. За да се позиционира, той стои като ключ, който дори и в гимназията разкрива все по-голям брой перспективи и възможности, които описва висшата математика.

вид

На пръв поглед интегралът изглежда невероятномодерен, релевантен, но на практика се оказва, че се е появил през 1800 г. пр. Хр. Отечеството официално се счита за Египет, тъй като не получихме по-ранни доказателства за неговото съществуване. Той, поради липса на информация, през цялото това време се е позиционирал точно като феномен. Той отново потвърди нивото на развитие на науката сред народите от онези времена. И накрая, са открити произведения на древногръцки математици от 4 в. Пр. Хр. Те описват метод, при който е приложен неопределен интеграл, чиято същност е да се намери обемът или площта на криволинейна фигура (триизмерни и двуизмерни равнини, съответно). Принципът на изчисление се основаваше на разделянето на първоначалната цифра на незначителни компоненти, при условие че обемът (площта) от тях е вече известен. С течение на времето методът нараства, а Архимед го използва, за да открие областта на парабола. Аналогични изчисления в същото време бяха проведени от учени в древен Китай, освен това те бяха напълно независими от гръцките братя в науката.

развитие

Следващият пробив през 11 век е вече епохата на нашата епохаработата на арабския учен "вагон" Абу Али ал-Басри, който избута границите на вече известните, са били получени от интегралната формула за изчисляване на сумите на сумите и степени от първия до четвъртия, използвайки за това, което знаем метода на математическата индукция.

Умовете на модерността се възхищават на древния начинЕгиптяните са създали невероятни паметници на архитектурата, без специални устройства, освен може би със собствените си ръце, но не е ли сила на умовете на учените от онова време, не по-малко чудо? В сравнение с настоящите времена техният живот изглежда почти примитивен, но решението на неопределените интеграли се получава навсякъде и се използва на практика за по-нататъшно развитие.

Следващата стъпка е настъпила през XVI век, когатоиталианският математик Cavalieri извлече метода на неделимата, която бе взета от Пиер Ферма. Тези двама души са поставили основата на съвременното интегрално смятане, което е известно в момента. Те свързват концепциите за диференциация и интеграция, които преди това бяха възприемани като автономни единици. Като цяло, математиката от тези времена беше фрагментирана, част от заключенията съществуваха сами, имайки ограничена сфера на приложение. Пътят на обединението и търсенето на обща основа е бил единственият правилен по онова време, благодарение на който съвременният математически анализ успя да расте и да се развива.

С течение на времето всичко се промени и обозначениетовключително. Като цяло, той е бил определен учени, които по свой собствен начин, например, Нютон, използвани икона на квадрат, което сложи интегрируеми функция, или просто да се съберат.

Това несъгласие продължи до XVII век,когато емблематичният учен Готфрид Лайбниц представи символа, който ни е познат за цялата теория на математическия анализ. Разтегнатият "S" наистина се основава на тази буква от латинската азбука, тъй като тя обозначава сумата от антиподите. Името е дадено на интегралната благодарност на Якоб Бернули след 15 години.

Официално определение

Неопределеният интеграл зависи пряко от дефиницията на антидеривативния, така че го считайте за първи.

Примитивът е обратната функцияпроизводно, на практика той се нарича примитивна. С други думи: примитивна функция на г - е функция D, производната на който е равен срещу <=> V "= о Търсене примитивно е да се изчисли неопределен интеграл, а самият процес се нарича интеграция ..

например:

Функцията s (y) = y³, и неговата антидеривативна S (y) = (y⁴/ 4).

Комплектът от всички неравенства на разглежданата функция е неопределен интеграл, който се обозначава както следва: ∫v (x) dx.

Тъй като V (x) е само някоипримитивът на началната функция, имаме израз: ∫v (x) dx = V (x) + C, където C е константа. Всяка произволна константа се разбира като всяка константа, тъй като нейното производно е нула.

свойства

Свойствата, които неопределен интеграл притежава, се основават на основната дефиниция и свойства на дериватите.

Помислете за ключовите моменти:

• неразделна производно на примитивни е самата плюс примитивен произволен постоянен С <=> ∫V "(х) DX = V (х) + С;
• производната на функционалния интеграл е началната функция <=> (∫v (x) dx) "= v (x);
• постоянно се изважда от под неразделна знак <=> ∫kv (х) DX = k∫v (х) DX, където к - е произволно;
• Интегралът, взет от сумата, е еднакво равен на сумата от интегралите <=> ∫ (v (y) + w (y)) dy = ∫v (y) dy + ∫w (y) dy.

От последните две свойства може да се заключи, че неопределеният интеграл е линеен. Поради това имаме: ∫ (kv (y) dy + ∫ lw (y)) dy = k (y) dy + lw (y) dy.

За фиксация разглеждаме примери за решения на неопределени интеграли.

Необходимо е да се намери интегралната ∫ (3sinx + 4cosx) dx:

• ∫ (3sinx + 4cosx) DX = ∫3sinxdx + ∫4cosxdx = 3∫sinxdx + 4∫cosxdx = 3 (-cosx) + 4sinx + С = 4sinx - 3cosx + C.

От примера можем да заключим, че не знаем как да решим неопределените интеграли? Просто намерите всички антитипични! И тук са принципите на търсенето по-долу.

Методи и примери

За да решим интеграла, можем да прибегнем до следните методи:

• използвайте готовата таблица;
• интегриране по части;
• интегриране чрез промяна на променлива;
• поддукция под знака на диференциала.

маси

Най-лесният и най-приятният начин. В момента математическият анализ може да се похвали с доста широка таблица, в която са предписани основните формули на неопределени интеграли. С други думи, има шаблони, които са извлечени преди теб и за теб, остава само да ги използваш. Ето списък на основните позиции в таблицата, на които може да се получи почти всеки пример с решение:

• ∫0dy = C, където C е константа;
• ∫dy = y + C, където C е константа;
• ∫y^пdy = (y^{n + 1}) / (n + 1) + C, където C е константа, а n е ненулево число;
• ∫ (1 / y) dy = ln | y + C, където С е константа;
• ∫e^шdy = e^ш + C, където С е константа;
• ∫k^шdy = (k^ш/ ln k) + C, където С е константа;
• ∫cosydy = siny + C, където C е константа;
• ∫sinydy = -cosy + C, където C е константа;
• Кви / кос²y = tgy + C, където С е константа;
• Шни / грях²y = -ktgy + C, където С е константа;
• Dy / / (1 + y²) = arctgy + C, където C е константа;
• ∫chydy = срамежлив + C, където C е константа;
• ∫shydy = chy + C, където C е константа.

Ако е необходимо, вземете няколко стъпки, донесете интеграла на масата и се насладете на победата. Пример: ∫cos (5x-2) dx = 1 / 5cos (5x-2) d (5x-2) = 1/5 x sin (5x-2)

С решение е ясно, че за примерната таблица интеграундът няма множител 5. Ние го добавяме, умножавайки се с 1/5 паралелно, така че общият израз не се променя.

Интегриране по части

Обмислете две функции - z (y) и x (y). Те трябва да бъдат непрекъснато диференцируеми по цялата област на дефиниция. По една от свойствата на диференциация имаме: d (xz) = xdz + zdx. Интегрирайки двете страни на уравнението, получаваме: ∫d (xz) = ∫ (xdz + zdx) => zx = ∫zdx + ∫xdz.

Пренаписвайки полученото уравнение, получаваме формула, която описва метода на интеграция по части: ∫zdx = zx - ∫xdz.

Защо е необходимо? Факт е, че някои примери имат възможност да опростят, сравнително казано, да намалят ∫zdx до ∫xdz, ако последният е близо до табличната форма. Също така, тази формула може да се прилага повече от веднъж, постигайки оптималния резултат.

Как да решаваме неопределени интеграли по този начин:

• е необходимо да се изчисли ∫ (s + 1) e^2sDS

∫ (x + 1) e^2sds = {z = s + 1, dz = ds, y = 1 / 2e^2s, dy = e^2xds} = ((s + 1) e^2s) / 2-1 / 2Ое^2sdx = ((s + 1) e^2s) / 2-е^2s/ 4 + С;

• трябва да изчислите ∫nsnsds

∫lnsds = {Z = LNS, DZ = DS / S, Y = S, Dy = DS} = slns - ∫s х DS / S = slns - ∫ds = slns -S + C = S (LNS-1) + C.

Променлива подмяна

Този принцип на решаване на неопределени интеграли не е такъвПо-малко поискани от предишните две, макар и по-трудни. Методът се състои в следното: нека V (x) е интегралът на някаква функция v (x). В случай че самият интеграл в примера е сложен, има огромен шанс да се обърка и да се обърне погрешно. За да се избегне това, се осъществява преходът от променливата x към z, при който общият израз се визуално опростява, когато се запази зависимостта на z на x.

В математическите термини, е както следва: ∫v (х) DX = ∫v (у (Z)) у "(Z) DZ = V (Z) = V (Y^-1(x)), където x = y (z) е пермутация. И, разбира се, обратната функция z = y^-1(x) напълно описва зависимостта ивзаимовръзката на променливите. Важно е да се отбележи, че диференциалът dx задължително се заменя с нов диференциал dz, тъй като замяната на променлива в неопределена цялост предполага замяната му навсякъде, а не само в интеграла.

например:

• Необходимо е да се намери ∫ (s + 1) / (s² + 2s - 5) ds

Прилагаме замяната z = (s + 1) / (s²+ 2s-5). След това dz = 2sds = 2 + 2 (s + 1) ds <=> (s + 1) ds = dz / 2. В резултат на това получаваме следния израз, който е много лесен за изчисляване:

∫ (s + 1) / (s²+ 2s-5) ds = ∫ (dz / 2) / z = 1 / 2in | z | + C = 1 / 2ln | s²+ 2s-5 ° С;

• е необходимо да намерим интегралната ∫2^итед^итеDX

За решението, пренаписваме израза в следната форма:

∫2^итед^итеds = ∫ (2д)^итеDS.

Ние обозначаваме с a = 2e (чрез заместване на аргумента тази стъпка не е, все още е), ние даваме на пръв поглед комплексна интегрална част на елементарната таблична форма:

∫ (2е)^итеds = ∫a^итеds = a^ите / lna + С = (2е)^ите / ln (2е) + С = 2^итед^ите / ln (2 + lne) + С = 2^итед^ите / (ln2 + 1) + C.

Чертеж под знака на диференциала

Като цяло, този метод на неопределени интеграли е двоен брат на принципа на променливата замяна, но има разлики в процеса на проектиране. Нека разгледаме по-подробно.

Ако ∫v (x) dx = V (x) + C и y = z (x), тогава ∫v (y) dy = V (y) + C.

В същото време не трябва да забравяме тривиалните интегрални трансформации, сред които:

• dx = d (x + a), където a е всякаква константа;
• dx = (1 / a) d (ax + b), където a отново е константа, но не равна на нула;
• xdx = 1 / 2d (х² + b);
• sinxdx = -d (cosx);
• cosxdx = d (sinx).

Ако разгледаме общия случай, когато изчислим неопределен интеграл, примерите могат да бъдат намалени до общата формула w "(x) dx = dw (x).

примери:

• Необходимо е да се намери ∫ (2s + 3)²ds, ds = 1/2d (2s + 3)

∫ (2s + 3)²ds = 1/2 (2s + 3)²d (2s + 3) = (1/2) х ((2s + 3)²) / 3 + С = (1/6) х (2s + 3)² + С;

∫tgsds = ∫sins / cossds = ∫d (coss) / coss = -ln | coss | + C.

Онлайн помощ

В някои случаи, чиято вина може да бъдеили мързел, или неотложна необходимост, можете да използвате онлайн подканите, или по-скоро, за да използвате калкулатор неопределени интеграли. Въпреки очевидната сложност и противоречив характер на интегралите, решението подлежи на техния специфичен алгоритъм, който се основава на принципа на "ако не ... тогава ...".

Разбира се, особено сложни примери за такивакалкулаторът не се овладява, тъй като има случаи, когато решението трябва да бъде открито изкуствено, "насилствено" въвеждането на определени елементи в процеса, защото не могат да бъдат постигнати очевидни начини на резултата. Въпреки всички противоречия на това твърдение, вярно е, тъй като математиката по принцип е абстрактна наука и смята, че нейната основна задача е да разшири границите на възможностите. Всъщност е изключително трудно да се издигнем и да се развиваме с гладко протичащи теории, така че не предполагайте, че примерите за решаване на неопределените интеграли, които дадохме, са най-важните възможности. Нека обаче да се върнем към техническата страна на въпроса. Най-малко за да проверите изчисленията, можете да използвате услугите, в които е написано всичко пред нас. Ако има нужда от автоматично изчисляване на комплексен израз, тогава те не могат да направят, ще трябва да прибегне до по-сериозен софтуер. Струва си да обърнете внимание преди всичко на околната среда MatLab.

приложение

Решението на неопределените интеграли в първиягледката изглежда напълно отделена от реалността, тъй като е трудно да се видят очевидните равнини на приложение. Всъщност те не могат да се използват директно никъде, но се считат за незаменим междинен елемент в процеса на намиране на решения, които се използват на практика. По този начин интеграцията е обратно диференцирана, поради което тя активно участва в процеса на решаване на уравнения.

На свой ред тези уравнения иматпряко влияние върху решаването на механичните проблеми, изчисляване на траектории и топлопроводимост - накратко, всичко, което съставлява настоящето и формира бъдещето. Неограниченият интеграл, примерите, които разгледахме по-горе, е тривиален само на пръв поглед, тъй като той е основа за все повече и повече нови открития.