Рационални числа и действия над тях

Концепцията за номера се отнася до абстракции,характеризиращ обекта от количествена гледна точка. Дори в примитивното общество, хората имаха нужда от преброяване на предмети, така че се появиха цифрови означения. По-късно те стават основата на математиката като наука.

За да се работи с математически концепции, е необходимо първо да си представите какъв вид номера има. Има няколко основни типа номера. Това са:

1. Естествени - тези, които получаваме при номерирането на обекти (естествената им сметка). Комплектът се обозначава с латинската буква Н.

2. Цяло число (техният комплект се обозначава с буква Z). Това включва естествени, противоположни отрицателни числа и нула.

3. Рационални числа (буква Q). Това са онези, които могат да бъдат представени под формата на фракции, чийто числител е равен на цяло число, а знаменателят на естествено число. Всички числа и естествени числа са рационални.

4. Валидни (означени с буквата R). Те включват рационални и нерационални числа. Наречен ирационално номера от рационално получени от различни операции (изчисляването на корен екстракт логаритъм), самите не са разумни.

По този начин, всеки от наборите, изброени по-горее подмножество от следното. Илюстрация на тази теза е диаграмата под формата на т.нар. кръгове на Ойлер. Фигурата представя няколко концентрични овала, всяка от които е разположена в другата. Вътрешният, най-малък овал (площ) обозначава набор от естествени числа. Той напълно обхваща и включва област, символизираща набор от числа, които на свой ред са затворени в областта на рационалните числа. Външният, най-големият овал, включително всички останали, обозначава редица реални числа.

В тази статия ние разглеждаме комплектарационални числа, техните свойства и характеристики. Както вече беше споменато, всички съществуващи числа (положителни, отрицателни и нулеви) принадлежат на тях. Рационалните номера представляват безкрайна серия със следните свойства:

- този комплект е поръчан, т.е. ако вземем чифт числа от тази серия, винаги можем да разберем кой от тях е по-голям;

- като вземем чифт от такива числа, винаги можем да поставим между тях поне още един и следователно цяла серия от тях - по този начин рационалните числа представляват безкраен брой;

- всички четири аритметични операции върху такива числа са възможни, резултатът от тях е винаги определен брой (също рационален); изключението е разделянето по 0 (нула) - това е невъзможно;

- Всички рационални числа могат да бъдат представени като десетични фракции. Тези фракции могат да бъдат ограничени или безкрайни периодични.

За да сравните две числа, свързани с набор от рационални, е необходимо да запомните:

Всяко положително число е по-голямо от нула;

- Всяко отрицателно число винаги е по-малко от нула;

- когато се сравняват два отрицателни рационални числа, има повече от тях, чиято абсолютна стойност (модул) е по-малка.

Как се извършват действията с рационални номера?

Да добавите две такива числа, които имат еднаквизнак, трябва да добавите абсолютните си стойности и да поставите общ знак пред сумата. За да добавите числа с различни знаци, от по-голямата стойност се изважда по-малката и се поставя знакът на единия от тях, чиято абсолютна стойност е по-голяма.

За да извадите един рационален номер отдруг е достатъчен, за да добавите към първия номер обратното на второто. За да умножите две числа, трябва да умножете стойностите на техните абсолютни стойности. Полученият резултат ще бъде положителен, ако факторите имат един и същ знак и отрицателен, ако е различен.

Разделението се прави по същия начин, т.е. има частична абсолютна стойност, а преди резултата знакът "+" се поставя в случай на делими и делителски знаци и знак "-" в случай на несъответствие.

Степените на рационални номера изглеждат като продукти на няколко ко-фактори, еднакви един с друг.